Definizioni di funzione reale ad una sola variabile
Una
applicazione f da un
insieme X Í
R a un insieme Y Í
R si chiama funzione reale di dominio X e codominio Y:
tale che:
Spesso si indica con y l’immagine f(x) di x :y = f(x).
La x è detta variabile indipendente, mentre il numero reale y è detto variabile dipendente.
L'insieme
degli elementi y che sono immagine mediante f di almeno un
elemento x del dominio, si chiama immagine della funzione f :
Im
f = f (X) ={
y Î
Y : esiste x Î
X tale che f (x) = y}
Esempio
di funzione
La funzione polinomiale è un esempio di funzione reale:
Data
la funzione
iniettiva,
si dice inversa di f
la funzione
| che ad ogni |  |
associa
l'unico elemento |
 |
f
(x) = y
Esempio
| Data la funzione |  , |
la funzione inversa è
.
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Una funzione la diciamo suriettiva quando:
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Una
funzione
la diciamo iniettiva quando:
(ad elementi distinti corrispondono elementi distinti) |
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Una
funzione
la diciamo biettiva quando è contemporaneamente iniettiva e suriettiva, ossia quandoad un elemento corrisponde uno ed un solo elemento. |
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Esempio
La funzione
è una funzione ne’ suriettiva, ne’ iniettiva.
|
Infatti |
|
Inoltre non e iniettiva , infatti ad esempio per
y
= 4 
( l’immagine del dominio non essendo tutto R mi dice che la funzione non è suriettiva)
Siano date le
funzioni funzioni f : X
: X 
Z
che ad ogni x
Tale funzione
Esempio
Sia f la
funzione f : X
Sia
g : V
:
X
Sia data f
: X 
, f
si dice:
·
positiva
in X se per ogni x 
X
si ha f (x) > 0
·
negativa
in X se per ogni x 
X
si ha f (x) < 0
Esempio
La funzione f : X
tale
che ad ogni x 
X
associa 
è una funzione positiva.
La funzione f : X
tale
che ad ogni x 
X
associa 
Sia data f
: X 
,
un punto
x0
X
si dice zero della
funzione f se e solo se f (
Esempio
Uno
zero della funzione 
è
il punto 
poiché
Sia data f
: X 
,
X 
e X
simmetrico rispetto all'origine, f si dice pari se
per ogni x 
X
si ha:
f (-x)
= f (x)
Esempio
La funzione f : X
tale
che ad ogni x 
X
associa 
è una funzione pari, infatti ad esempio
.
Sia data f
: X 
,
X 
e X
simmetrico rispetto all'origine, f si dice dispari se
per ogni x 
X
si ha:
f (-x) = -f (x)
Esempio
La funzione f : X
tale
che ad ogni x 
X
associa 
è una funzione pari, infatti ad esempio
.
Sia data f
: X 
,
f si dice periodica se esiste un numero reale h tale
che per ogni x 
X
si ha:
f (x + h) = f (x).
Il più piccolo numero h > 0 che verifica tale proprietà si
dice periodo della funzione.
Funzione
limitata superiormente.
Data
una funzione
, diremo che f
è superiormente limitata se esiste un numero reale M tale che
risulta
, ossia il codominio f (X)
è un insieme limitato superiormente.
Esempio
La
funzione reale
è una funzione limitata
superiormente poiché per ogni x appartenente al dominio arctgx,
risulta più piccola di
.
Funzione
limitata inferiormente
Data
una funzione
, diremo che f
è inferiormente limitata se esiste un numero reale m tale che
risulta
, ossia il codominio f (X)
è un insieme limitato inferiormente.
Esempio
La funzione reale f: xÎ (-¥, o]® arctagx è una funzione limitata inferiormente poiché per ogni x appartenente al dominio, arctgx risulta più piccola di - p/2.
Funzione
limitata
Data
una funzione
, diremo che f
è limitata se esiste un
numero reale M tale che
risulta
,ossia il codominio f (X)
è un insieme limitato.
Esempio
La funzione f:xÎ R ® arctagx è una funzione limitata perchè limitata inferiormente in (-¥, 0] e superiormente limitata in [0,+¥)
Sia
,
diremo che x0 è un punto di minimo relativo se
esiste un intorno I del punto x0 tale che
risulta che:
Massimo
relativo
Sia
,
diremo che x0 è un punto di massimo relativo
se esiste un intorno I del punto x0 tale che
risulta che:
Minimo
assoluto
Sia
data
, si dice che
x0
punto di minimo assoluto se
si ha:
.
Massimo
assoluto
Sia
data
, si dice che
x0
punto di massimo assoluto se
si ha:
.
Diremo
che la funzione
, decrescente
se
si ha che:
Diremo
che la funzione
, crescente
se
si ha che
Grafici
di funzioni elementari
Funzione
costante
del tipo f(x) = k
Funzione potenza: f(x) = xa
| a reale, positivo | a intero, positivo |
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| a reale, negativo | a intero, negativo |
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Funzione esponenziale: f(x)=ax
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Funzione logaritmica: f(x)=logax
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Funzioni goniometriche:
| f(x)=senx | f(x)=cosx |
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| f(x)=tgx | f(x)=cotgx |
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Funzioni inverse delle funzioni goniometriche:
| f(x)=arcsenx | f(x)=arcosx |
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| f(x)=arctgx | f(x)=arcotgnx |
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| f(x)=secx | f(x)=cosecx |
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Funzioni Iperboliche:
| f(x)=senhx | f(x)=coshx |
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| f(x)=taghx | f(x)=cotghx |
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