Definizione di limite di una funzione reale.

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a,b] e sia x₀ un punto dell’intervallo.

Diremo che la funzione f(x) , per x che tende a x_{0 ,} ha come limite l  e scriveremo:

quando  esiste un intorno I₀ del punto x₀ tale che  risulta che:

ovvero:

Detto in parole semplici, quando più la x si avvicina ad x₀ tanto più la f(x) si avvicina al valore l e sarà compresa tra e :

Quindi per verificare se un  valore l è limite oppure no di una funzione, per x che tende ad x₀, bisognerà  valutare se assegnato un valore e, positivo, esiste un intorno I₀ in modo tale che la f(x) sia compresa tra  e .

Esempio

Verificare che risulta:

Per provare ciò dobbiamo far vedere che assegnato un e>0 , arbitrario e piccolo, esiste un intorno di 2 in modo tale che .

Quindi preso  e>0,  

 e risolvendo le due banali disequazioni,

 si ha:

ovvero esiste un intorno del punto 2.

Definizione di limite destro

Si definisce limite destro

se, per ogni intorno I_l di l, è possibile trovare un intorno destro I_c di c, tale che
per ogni x  Î I_c Í X , sia  ha che :

f(x) Π I_l

Definizione di limite sinistro

se, per ogni intorno I_l di l, è possibile trovare un intorno sinistro I_c di c, tale che
per ogni x  Î I_c Í X, accade che:

f(x) Î I_l

“Aritmetica” dei limiti"

Consideriamo

e  

dove c Î È { +¥ , -¥} allora valgono le seguenti regole:

·       

·       

·       

·         (Con l₁ diverso da zero)

·        (Con l₂ diverso da zero)

Limite di funzione composta

Siano   f : X ® ,      g : f (X) ®    e  

Se per ogni xÎ I_l $ un intorno I_m e per ogni x Î (I _c Ç X) , x ¹ c : f (x) ¹ m

Calcolo di limiti

Il calcolo dei limiti che si presentano sotto la forma:

con f(x) positiva,   va ricondotto al calcolo di:

(con   a > 0     e     a ¹ 1)

PUNTI DI DISCONTINUITA'

(1)               Si dice che nel punto x=a la funzione f(x) ha una discontinuità di prima specie se esistono finiti il limite destro e quello sinistro e sono diversi tra loro.

La differenza tra i due limiti si dice salto della funzione.

(2)               Si dice che la funzione f(x) ha nel punto x=a una discontinuità di seconda specie se almeno uno dei due limiti, destro e sinistro, non esiste oppure almeno uno di essi è infinito.

(3)              
Si dice che la funzione f(x) ha una discontinuità eliminabile nel punto x=a se il

esiste ed è finito, ma è diverso dal valore f(a) che può anche non esistere.