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EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Una equazione di secondo grado è del tipo:

(1)

dove a,b e c sono numeri reali; x è detta incognita dell’equazione.

Risolvere una equazione significa determinare il valore dell’incognita x per cui la (1) risulta una identità.

E’ possibile determinare i valori che soddisfano l’equazione applicando la formula risolutiva:

 

 

Esempio.

Si risolva la seguente equazione:

applichiamo la formula risolutiva:

Quindi le due radici sono:

 

 

Le radici dell’equazione data sono: e .

Significato geometrico delle equazioni di secondo grado

Consideriamo una equazione di secondo grado:

e  ricordiamo che risolvere una equazione significa trovare quei valori dell'incognita x  tali che sostituiti nell’equazione danno una identità.

In effetti le soluzione di una equazione di secondo grado non sono altro che gli zeri della funzione

y = ax2+bx+c

In altre parole, risolvere una equazione di secondo grado significa determinare le ascisse dei punti di intersezione della parabola con l'asse delle x.

 

La parabola può avere in comune con l'asse delle x  due punti distinti, un sol punto (due punti coincidenti) o nessun punto, a seconda che il discriminante dell'equazione sia positivo, nullo o negativo. 

1.      Se D=b2-4ac>0  , come già detto l'equazione ammette due soluzioni reali distinte date da:


pertanto la  parabola associata y = ax2+bx+c   interseca l'asse delle ascisse in due punti distinti di ascissa x1 e x2. Graficamente rappresentiamo come segue:

 

 

2.      Se D=0 l'equazione  ha due soluzioni coincidenti:

x1= x2=-b/2a

La parabola associata interseca è tangente all'asse delle ascisse ovvero interseca l’asse in un sol punto. Seguono le due rappresentazioni grafiche in base al segno di primo coefficiente a.

3.      Se D<0  l'equazione  non ha soluzioni reali, pertanto la parabola non ha nessun punto in comune con l'asse delle ascisse.
Graficamente otteniamo le seguenti situazioni:

 

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