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| Definizione di derivata di una funzione | Derivata di una funzione fratta | Concavità e covessità |
| Significato geometrico della derivata | Derivata di una funzione razionale | Punti di flesso esercizi |
| Massimi e minimi relativi | ||
| Derivata di polinomi | Massimi e minimi assoluti |
Definizione
di derivata di funzioni reali.
La derivata di una funzione rappresenta la variazione che subisce la funzione f rispetto alla variabile x : sia y = f(x) una funzione reale, si dice derivata della funzione
y = f(x) il limite, per x che tende ad
Egualmente, posto
e
l’incremento (o decremento) che la funzione subisce dal passare da x0 a x si può anche scrivere che la derivata è:
.
Spesso, per comodità, viene usata anche la seguente scrittura per dare la definizione di derivata:
.
Diremo quindi che una funzione f(x) è
derivabile nel punto
Parleremo di derivata destra (sinistra) se esiste ed è finito il limite destro (sinistro)del rapporto incrementale.
Una funzione è derivabile in un punto
Significato geometrico della derivata
Come abbiamo detto la derivata mostra come una funzione varia al variare della sua variabile ma vediamo bene ciò che cosa vuol dire.
Supponiamo che la funzione f(x) ha
l’andamento come nella figura seguente e consideriamo il punto P (x, y) ed il
punto R(x0
,Y0
.
Il rapporto
non rappresenta altro che il coefficiente
angolare della retta PR ossia l’angolo (per essere più precisi il valore
della tangente dell’angolo) che la retta PR forma con l’asse delle x;
passando al limite, per x
Perciò la f’(x) non rappresenta altro che
il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto
Ricordiamo il seguente teorema:
Se
f è una funzione reale, derivabile)
Osserviamo che non è vero il viceversa, ad esempio consideriamo la funzione :
Essa è definita in tutto R , a sinistra dello 0 la funzione è f(x) = - x e a destra f(x) = x.
Vediamo se la funzione è continua in 0, valutiamo a tal proposito il limite destro ed il limite sinistro della funzione:
;
Poiché i due limiti coincidono, la f è continua in 0.
Vediamo ora se la funzione è derivabile in zero, dobbiamo vedere se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale o più precisamente se la derivata destra coincide con la derivata sinistra.
Calcoliamo quindi la derivata sinistra:
;
calcoliamo la derivata destra:
.
La derivata destra della funzione non coincide con quella sinistra pertanto la funzione non è derivabile in 0.
Prerequisiti: definizione di derivata.
I polinomi sono le funzioni più semplici che useremo.Vogliamo ora vedere come si fa la derivata di un polinomio come, ad esempio x4+3x; 8x2+3x+6; o 2.
Incominciamo col vedere la derivata di una funzione del tipo
y
= f(x) = c
dove c è una costante come 2, 5 oppure 100000 ecc.; insomma un numero reale.
La derivata di una funzione costante è zero. Questo ha senso se pensiamo alla derivata come il coefficiente angolare della tangente alla curva, in questo caso è una retta parallela all’asse delle x ed il coefficiente angolare di una tale retta è zero.
Usiamo la definizione di derivata per mostrare che la derivata della funzione f(x) = c è zero:
Consideriamo ora la funzione y = f(x) = x.
Questa è l’equazione della bisettrice del primo quadrante; vediamo chi è la derivata di questa funzione applicando sempre la definizione di derivata:
Prima
di mostrare il caso generale, consideriamo la funzione y = f(x) =
Questa funzione rappresenta l’equazione di una parabola :
|
|
Ciò che ci aspettiamo è che la derivata sia zero nel punto x=0, positiva se la x è positiva, negativa se la x è negativa.
Applicando la definizione di derivata si ha:
Questo è esattamente ciò che ci aspettavamo; la derivata è 0 in x = 0 e positiva o negativa, rispettivamente se x è positiva o negativa.
Passiamo
al caso generale ovvero consideriamo
la funzione y = f(x) = 
.
“n” può essere sia un intero positivo che negativo; vediamo prima il caso in cui è positivo.
Applichiamo la definizione di derivata tenendo conto che:
si ha:
Questo risultato ci può apparire ancora più convincente se lo applichiamo al caso di n = 0,1,2.
L’estensione
da f(x) = 
ad un arbitrario
polinomio deriva da due risultati:
La derivata di una somma di funzioni è uguale alla somma delle derivate :
La derivata di una funzione moltiplicata per una costante è uguale alla costante moltiplicata per la derivata della funzione:
Pertanto se
si ha che:
DEFINIZIONE
Se
f(x) è una funzione continua nell'intervallo I
e x' è un punto interno all'intervallo, si dirà che:
1.
x' è un punto di massimo
relativo se esiste un k maggiore di zero tale che
2.
x' è un punto di minimo relativo
se esiste un k maggiore di zero tale che:
I
punti di massimo e di minimo di una funzione si chiamano estremi locali o
estremi relativi.
MONOTONIA
DI UNA FUNZIONE
Se
f(x) è continua in un intervallo I
e derivabile nei suoi punti interni si ha:
ESTREMI
RELATIVI
Se
f(x) è continua nel punto x' e derivabile in un suo intorno eccetto al più
x' si ha:
CRITERIO PER LA RICERCA DEGLI ESTREMI RELATIVI
Data
la funzione f(x) definita nell'intervallo I,derivabile
nei punti interni e dotata di derivata seconda in x' interno a I
si ha:
In
generale:
Se
f(x) è derivabile (n-1) volte e n volte in x' risulta:
se n è pari
se n è dispari:
DEFINIZIONE
| x' punto di massimo assoluto se: | |
 |
| x' punto di minimo assoluto se: | |
 |
Vale
il seguente teorema del quale omettiamo la dimostrazione:
TEOREMA
DI WEIESTRASS
Una
funzione continua in un intervallo chiuso e limitato ammette massimo e
minimo assoluto.
CRITERIO
PER LA RICERCA DEI MINIMI E MASSIMI ASSOLUTI
Se
una funzione f(x) definita in un intervallo I,
limitato o non, ammette massimo e minimo assoluto, allora tali punti
devono necessariamente cadere tra i seguenti:
1.
punti interni a I
in cui f '(x)=0
2.
punti interni a I
in cui f(x) non è derivabile
3. gli estremi di I se appartengono a I
CONVESSITA',
CONCAVITA', FLESSI.
DEFINIZIONE
Siano f(x) una funzione definita
in un intervallo I
e x', x'' due punti dell'intervallo si dice:
CONCAVITA' E CONVESSITA' DI UNA FUNZIONE
Se f(x) è dotata di derivata
seconda nell'intervallo I
risulta:
FLESSI
Se f(x) è dotata di derivata
seconda in I
e x' è un punto interno a I
risulta:
